Register Allocation¶

The Problem

Programs use unlimited temporary variables (temps)
Real machines have a limited number of registers
Need to map temporaries to registers (efficiently)

The Goal

Map temporaries to registers
Preserve program semantics
Optimize performance

Graph Coloring: Overview¶

Interference Graph¶

Key insight : 如果两个临时变量 not live at the same time ，那么它们可共享一个寄存器。

将想法建模为 Interference Graph(用 k 个 color 涂色， k 代表可用寄存器数量) ：

Nodes represent temporaries or visual registers
Edges connect temporaries that are live at the same time
Colors represent physical registers

如果两个变量之间没有 edge，说明它们可以共享一个寄存器。

构建：

对于定义变量 a 的指令，如果其出口活跃变量为 b1, ..., bj（即 out[n] = {b1, ..., bj}），添加干扰边的方式如下：

指令为 non-move 指令：添加干扰边 (a, b1), ..., (a, bj)。
move 指令 a ← c：对于任何与 c 不同的 bi，添加干扰边 (a, b1), ..., (a, bk)。这允许移动合并（move coalescing），即消除不必要的拷贝指令（不需要构建 (a,c) 干扰边，因为两个变量值相同）。
何时不添加干扰边：如果 t := s 是一个拷贝指令，通常会创建 (s, t) 的干扰边。但如果 s 和 t 包含 相同的值 ，且之后没有对 t 的 non-move 定义，则不需要为 s 和 t 分配不同的寄存器，因此不添加 (s, t) 边。
何时仍需添加干扰边：如果 t := s 是一个拷贝指令，但之后在 s 仍然活跃的情况下，t 又被非移动指令重新定义，那么仍然需要创建 (t, s) 的干扰边。

左为不需要，右为需要：

Register Allocation¶

两种着色方法：

Vertex Coloring : 为每个顶点分配一种颜色，使得没有边连接的顶点具有相同的颜色。
K-coloring : 使用最多 K 种颜色进行着色。
找到最小的 k 使得图是 k 可着色的：这是一个 NP-hard 问题
K-着色（给定一个常数 k，判断图是否 k 可着色）：这是一个 NP-complete 问题，也是寄存器分配中通常需要处理的问题。

Coloring By Simplifications¶

Kempe’s Theorem ：

假设 graph G 中有一个 node n，degree(n) < K(邻居少于K个)，那么移除 n 及其所有连接的边得到图 G'。如果 G' 可以被着色，那么 G 也可以被着色。

Simplify & Select¶

这是一个简单的启发式算法，包含三个主要步骤：

构建干扰图：从程序中构建冲突图。
简化（Simplify）： - 当图 G 中存在度数小于 K 的节点 N 时，将其从 G 中移除，并将其推入栈 S。 - 重复此过程直到图 G 中所有节点的度数都大于等于 K，或者图为空。 - 原理：度数小于 K 的节点总是 K 可着色的。
选择（Select）： - 如果所有节点都被移除（图为空），则图是 K 可着色的。 - 从栈 S 中弹出一个节点 N，将其添加回图 G，并为其分配一个颜色。由于是逆序添加，当添加 N 时，其所有邻居都已着色，且其邻居数量小于 K，因此总能找到一个可用颜色。 - 重复此过程直到栈为空。

K=2 例，先 Simplify （c->e->a->b->d）：

再 Select （d->b->a->e->c）

但是，算法是一种快速启发式算法，可能会失败。当算法失败时，并不意味着图不可 K 着色，只是该启发式算法无法找到着色方案。

Simplification, Select, Spilling¶

当上面的启发式算法失败时，可以用 Spill 来解决：选择图中的某个节点，并决定将其数据存储在内存中，而不是寄存器中。

Optimistic Coloring¶

Optimistic Coloring 是对 Spill 效果的一种乐观近似。被溢出的节点被假设不与图中剩余的任何其他节点干扰，因此，它可以被移除并推入栈中，简化过程可以继续进行。

流程：

例：将b作为 candidate for spilling，做乐观假设，”照常”把节点删除、放栈上

最后全部放入栈中：

接着开始 Select （即着色）操作，会有一些问题：当在 simplify 阶段被标记为“可能溢出”的节点在 select 阶段被弹出时，如果其所有邻居都已经被 K 种不同的颜色着色，那么该节点将无法被着色。（如果所有邻居被少于 K 种 color 着色，那么optimistic coloring works!）

上例就可以 work：

Do the Actual Spill¶

在 optimistic coloring 失败情况下，我们要执行实际的溢出操作。

Actual Spill：

选择一个实际的溢出节点（通常根据启发式选择溢出代价最低的）。
为其分配一个内存位置（例如，在当前栈帧中，称之为 ba）。
在每次使用 b 的操作之前，插入 bi := load ba 指令。
在每次定义 b 的操作之后，插入 store bi, ba 指令

例 K=4 （比较简单）：

入栈顺序：g-h-k-d-j-e-f-b-c-m，最后涂色：

Cont¶

Coalescing¶

定义：给定一个 MOVE 指令： move a,b ，如果变量 a , b 互不干扰在，那么：该移动指令可以被消除。a 和 b 可以被合并成一个新的节点，新节点的边是 a 和 b 原有边的并集。

合并可以提高图的可着色性。通过减少节点数量和边数，有时可以使原本不可着色的图变得可着色。但是合并也可能增加干扰边的数量，使得图不可着色。所以要遵循 Conservative coalescing ，启发式规则，避免使图更难着色。

Heuristic Coalescing

下述两种准则都是安全的，它们保证不会将一个 K 可着色的图变成不可 K 着色的图。

Briggs Criteria ：如果合并 a 和 b 产生的节点 ab 具有的 significant degree neighbors（即 degree ≥ K 的邻居）少于 K 个，则 a 和 b 可以合并。
George Criteria ：如果对于 a 的每个邻居 t，要么 t 已经与 b 干扰，要么 t 的度数不显著（即 <K），则 a 和 b 可以合并。K=3 例（b 与 c 合并）：